"Kampf auf Leben und Tod" ist richtig, eine Erklärung kann ich Dir dafür nicht liefern.
Der Duden bietet folgende Beispiele. keines davon mit "auf":
mit Waffen, unter Einsatz der verschiedensten Kampfmittel einen Kampf (1), eine kriegerische Auseinandersetzung führen
Beispiele
erbittert, hart, bis zum letzten Mann kämpfen
an der vordersten Front, für das Vaterland, um den Brückenkopf kämpfen
sich handgreiflich mit jemandem auseinandersetzen; tätlich gegen einen Gegner vorgehen, um ihn zu bezwingen
Beispiele
gegen jemanden, mit jemandem kämpfen
um etwas kämpfen
er kämpfte mit dem Rücken zur Wand, auf verlorenem Posten
wie eine Verzweifelte, wie eine Löwenmutter kämpfen
kämpfende Rehböcke
: der Schwimmer kämpfte gegen die Strömung, mit den Wellen
: der Alte kämpft mit dem Tod (liegt im Sterben)
: sie kämpfte mit den Tränen (versuchte sie zu unterdrücken)
: sie kämpfte mit dem Schlaf (versuchte wach zu bleiben)
sich (mit den verschiedensten Mitteln) heftig mit einem Gegner auseinandersetzen, streiten; im Kampf (2b) mit jemandem stehen
Beispiel
gegen einen politischen Widersacher, mit einer politischen Gegnerin kämpfen
sich in einem sportlichen Wettkampf mit einem Konkurrenten, Gegner messen
Gebrauch
Sport
Beispiel
die Mannschaft kämpft gegen einen sehr starken Gegner, um den Einzug ins Halbfinale
sich in einem sportlichen Wettkampf, in einem Spiel körperlich voll einsetzen
Gebrauch
Sport
Beispiele
beide Ringer kämpften verbissen
die Mannschaft versteht zu kämpfen, kämpfte bis zum Ende
sich unter Einsatz aller Kräfte, der verschiedensten Mittel fortgesetzt bemühen, etwas Bestimmtes zu erreichen
Beispiele
für eine bessere Zukunft, für ein geeintes Europa kämpfen
gegen den Krieg, gegen den Hunger kämpfen
um sein Recht, seine Rehabilitierung kämpfen
er hatte [schwer] zu kämpfen
innerlich um eine Entscheidung, einen Entschluss ringen
Beispiel
sie kämpfte noch, ob sie hingehen sollte oder nicht
einen Weg, eine Strecke unter widrigen Umständen, unter großer Mühe zurücklegen
Grammatik
sich kämpfen
Beispiele
sie kämpften sich [mühsam] durch Dornen und Gestrüpp
: sie hat sich im Lauf der Jahre nach oben gekämpft (sich wirtschaftlich, sozial hochgearbeitet)
http://www.duden.de/rechtschreibung/kaempfen#...Hier sind noch mehr, auch keines mit "auf"
http://www.dwds.de/?qu=k%C3%A4mpfen&view=1
