Es ist sehr gut, 6ata6.

Vielleicht kannst du statt "und habe die Fähigkeit, mich ..." etwas mit "kann" schreiben; das ist schlichter. Dann lautet der Satzteil: ... und kann mich schnell in ein Team integrieren... [...] anpassen.

Was den Satz mit der Formulierung "Potential voll ausschöpfen" betrifft, würde ich es auch wiederum etwas schlichter ausdrücken.

.... Und dieses 'unter diesem Management' ist mir nicht ganz klar.

Ich bin zuversichtlich, dass ich mein Potential/Potenzial unter(?) diesem Management(?) ausschöpfen kann. 

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Oder vielleicht kann hier jemand noch Vorschläge geben...

da das "an meinen Betreuer und untergeordnete Mitarbeiter anpassen" ein Komplex ist, der vom "in ein Team integrieren" getrennt zu sehen ist, würde ich ein "sowie" einfügen. Das "und" verbindet ja nur Untergebene und Betreuer, nicht aber die beiden Teilsätze, und noch ein "und" klingt dann zu stark nach Wiederholung.

... und habe die Fähigkeit, mich schnell in ein Team zu integrieren sowie mich an meinen Betreuer und...

sonst klingt es so, als sei das "an den Betreuer anpassen" eine Erläuterung für "ins Team integrieren". Oder als würde noch ein dritter Satzteil fehlen.

Apropos: wirklich nur 1 Betreuer? Und ist das wirklich ein "Betreuer" im Sinne eines Sponsors/Tutors, oder meintest Du damit Deinen neuen Vorgesetzten?

Rein stilistisch kommt es mir dann noch sehr als Schachtelsatz vor, kann aber durchaus auch so gewollt sein.

Warum, wird vielleicht deutlicher, wenn ich die Satzstruktur als mathematische Formel aufschreibe:

e + F(si + (B + uM)a)

Die Klammer innerhalb der Klammer ist das, was mich stört, da würde ich mindestens einmal ausmultiplizieren (in Art von Braunbärins "kann"):

Ich bin sehr engagiert, kann mich schnell in ein Team integrieren und kann mich ebenso auch gut an meinen Betreuer und die untergeordneten Mitarbeiter anpassen.

Der Satz mit dem hochwertigen Management klingt so, als wolltest Du Dich einschleimen, wird in einer Bewerbung (egal ob intern oder extern) auch eher mit gemischten Gefühlen aufgenommen, wenn nicht sogar negativ ("Wieso hat er es nötig, sich einzuschleimen? Kann er nicht mit Können punkten?")

Aber wie oben schon gesagt, das sind dann Stilfragen, "stimmen" tun die Sätze auch so, wie Du sie hingeschrieben hast.

Der Satz ist grammatisch einwandfrei, klingt aber, was die Wortwahl angeht, stellenweise etwas komisch. Zum Teil wurde das schon angemerkt.

1. Was ist hier mit "Betreuer" gemeint? Das entspricht nicht dem englischen "supervisor". Ein Betreuer wäre vielleicht eine Art Tutor, der den neuen Mitarbeiter in der Anfangszeit unterstützt, aber nicht unbedingt ein Vorgesetzter.
2. "Untergeordnete Mitarbeiter" klingt irgendwie despektierlich, nach Kollegen, die keine große Rolle im Betrieb spielen und eigentlich überflüssig sind. Es ist gar nicht nötig, hier auf disziplinarische Hierarchien einzugehen.
3. Sich "an [irgendwelche Personen] anpassen" würde ich auch nicht verwenden. Du brauchst dich nicht an die Personen anzupassen, sondern solltest dich ins Team einfügen.
4. "hochwertiges Management" klingt nicht nur nach einem Einschleim-Versuch, sondern überhaupt seltsam. Menschen, und somit auch das Management, haben keinen bezifferbaren Wert. Letzteres kann vielleicht hochqualifiziert sein, aber nicht hochwertig.

Ich würde den ganzen Satz ein bisschen verkürzen. Manchmal ist weniger mehr:

Ich bin engagiert und imstande, mich schnell und effektiv in ein Team zu integrieren. Ich bin zuversichtlich, dass mein Potenzial in Ihrer Firma / bei der XXX GmbH / ... voll ausgeschöpft wird. 

Edith stellt gerade spitzfindig fest, dass die Sache mit dem "voll ausgeschöpften Potenzial" natürlich missinterpretiert werden könnte. Wer sicher ist, dass sein Potenzial voll ausgeschöpft wird, der hat vielleicht nicht viel Potenzial.

Vielleicht besser:

Ich bin zuversichtlich, dass meine Fähigkeiten in Ihrer Firma voll zur Geltung kommen.