"watch sth. grow" = "dabei zusehen, wie... / beobachten, wie etwas wächst". Eine Pflanze z.B., die relativ schnell wächst, und der man buchstäblich beim Wachsen zuschauen kann. "Beobachten" ist im Allgemeinen genauer.
Für "see sth. / someone grow":
Der Songtext verwendet "you've seen me grow" in Bezug auf eine Person. "Du hast gesehen, wie ich großwerde" (oder: "Ihr habt gesehen, wie ich großwerde").
Wenn du wissen willst, warum Zoe Wees nicht "You watched me grow" singt: Ich finde es mit 'seen' sinniger. Oder man wollte im Text kein hartes zischendes *tsch-d* reinbringen, sondern das weichere 'seen'.