Weder mag sie Hunde noch Katzen.

Wer sagt, dass das nicht geht? Ich habe kein Problem mit dem Satz.

Wie #1 und #3: Ich finde den Satz nicht sehr idiomatisch, was aber nichts damit zu tun hat, ob dort "mag sie" wiederholt wird. Wenn man den Satz so schreibt, geht es auch ohne.

Ich weiß auch nicht, was genau mich stört:

Weder Rudolf noch Hansi mögen Fisch

Weder mag sie Hunde, noch wollte sie je in einer WG wohnen [2 Gründe, warum sie ablehnt]

finde ich z.B. völlig in Ordnung, obwohl sie mit "Weder" anfangen. Aber den im OP mag ich nicht. Hmm.

Im OP scheint der Satz mit "Weder" am Anfang deshalb so schräg, weil im Prinzip der ganze Satz gegenübergestellt wird (vgl. "weder ist die Erde flach, noch geht die Sonne im Westen auf", daher hatte MacBerthe wohl auch angemerkt, man könne den Satz nicht verkürzen), nicht nur Hunde vs. Katzen. Da es aber beide Male um dasselbe geht (Sie mag das Objekt einfach nicht), entsteht hier die entsprechende Spannung.

Diese Spannung ist dann durch die Interpretation ausgelöst, weil die Konstruktion was anderes erzeugt als der Inhalt aussagt, daher ist der Satz an sich als grammatikalisch richtig anzusehen, wenn auch nicht stilistisch korrekt. Dass man auch mit "Weder" am Anfang den Satz verkürzen kann, liegt daran, dass man den sich wiederholenden Teil weglässt. Das ist aber wiederum keine Eigenschaft der weder... noch Konstruktion mehr.