"...doch immerhin gibt es erste Hoffnungsschimmer."

"...doch gibt es immerhin erste Hoffnungsschimmer."

sind nicht einmal die einzigen Möglichkeiten:

"...doch es gibt immerhin erste Hoffnungsschimmer." ist auch noch richtig.

"Doch" gehört zu den Wörtern im Satzvorfeld, nach denen das Verb invertiert sein kann, aber nicht muss.

Nach "immerhin" ist die Stellung des finiten Verbs vor dem Subjekt obligatorisch.

Insofern, finde ich, geht es im Vergleich deiner beiden Sätze nicht vorrangig um unterschiedliche Positionen des Verbs im Satz, sondern eher um die von "immerhin". Sie macht meiner Meinung nach inhaltlich keinen Unterschied aus und setzt keine anderen Akzente. Ebenso wenig ist dies bei der dritten Möglichkeit der Fall.

Blanc bonnet, bonnet blanc. Gehupft wie gesprungen.