Weil "Zeig es mir" nicht als "erlaube mir, dass ich es sehe" verstanden wird, sondern als "veranlasse, dass ich es sehe(n kann)."

Faustregel?
Wenn Du den Satz mit "erlaub mir, zu sehen" auf Deutsch übersetzen würdest, dann ist "lasciami vedere" richtig ; wenn er als "laß mich sehen" besser klingen würde, dann ist "fammi vedere" zu verwenden. Der erste Fall deutet eine echte Bitte an, der Zweite nur eine formelle Bitte.

Beispiele?
"Lasciami vedere" - einer hübschen aber scheuen Frau :)
"Fammi vedere" - einem Kollege, der Dir aus manchem Grund ein wichtiges Dokument nicht zeigen will

"Mi lasci vedere" war einst auch im Kino üblich, im Sinne von "Hut weg, bitte!"

Danke für die Faustregel (echte vs. formelle Bitte).
Erlaube mir würde ich auf Deutsch allerdings fast nie sagen. Ich würde das eher so unterscheiden:

Hübsche scheue Frau: Würden sie mich das Dokument sehen lassen? oder Dürfte/Könnte ich das Dokument mal sehen?
Kollege: Lass mich das Dokument mal sehen. oder Darf/Kann ich das Dokument mal sehen?

Von lassen komme ich da nicht (zwangsläufig) runter. :-) Ist also nur bedingt als Kriterium geeignet, wie mir scheint. Wahrscheinlich erschließt es sich meinem Sprachgefühl mit der Zeit.

Ich habe noch zwei Anschlussfragen:

1) Wie wäre es denn in folgender Situation:
Ein blinder Engländer ruft Gott um sein Augenlicht an und sagt Please make me see! Könnte ein blinder Italiener in dem Fall Fammi vedere sagen, oder würde Gott dann denken, der Blinde möchte etwas gezeigt bekommen?

2) Die Unterscheidung, die im Englischen zwischen have und make gemacht wird, gibt es im Italienischen nicht, oder?

[en] I had my hair cut yesterday.
[de] Ich ließ mir gestern die Haare schneiden.
[it] ?

[en] I made him apologize to my sister.
[de] Ich zwang (veranlasste) ihn, sich bei meiner Schwester zu entschuldigen.
[it] ?

Berichtigung:
Hübsche scheue Frau: Würden Sie mich das Dokument sehen lassen? oder Dürfte/Könnte ich das Dokument mal sehen?

Übersetung für Anschlussfrage 2:
Ieri mi sono fatta tagliare i capelli

Ah, die Freude, die Sachen zu verkomplizieren! :-)))
Also:
1) der blinde Italiener würde dem lieben Gott sagen "fammi vedere ancora!" ; das mit der fatalistischen Abschätzung, dass ein Gott, der den Satz als "zeig' mal wieder" interpretieren könnte, sowieso nicht klug genug wäre, um ihm das Augenlicht zurückzugeben :)

2)
[en] Yesterday I had my hair cut - but "I made the barber cut my hair" is still acceptable, though with a vague hint of compulsion
[de] Ich ließ mir gestern die Haare schneiden - (mir kommt keine mögliche Alternative vor, außer vielleicht "ich zwang den Friseur...")
[es] Ayer me hize [dejé] cortar el pelo - según si me fui al peluquero espontaneamente o forzado por mi madre :)
[it] Ieri mi sono fatto [lasciato] tagliare i capelli - come in spagnolo, dipende se l'ho deciso io o sono stato costretto :)

[en] I made him apologize to my sister - I forced him to apologize to my sister
[de] Ich zwang ihn, sich bei meiner Schwester zu entschuldigen - aber auch "ich ließ ihn, sich bei meiner Schwester entschuldigen", oder?
[es] le hize pedirle perdón a mi hermana - le fuerzé a pedirle perdón a mi hermana
[it] gli ho fatto chiedere scusa a mia sorella - l'ho costretto a chiedere scusa a mia sorella

Etwas kompliziert, die Nuancen sind für jeder Sprache ein bißchen unterschiedlich. Aber das macht (nicht läßt) die Welt interessanter und weniger langweilig :-)

Habe ich es klarer oder trüber gemacht?

1) fammi vedere ancora: Auch ein blind auf die Welt Gekommener? :-) Was Gott anbetrifft, hast Du natürlich Recht. :-)
Fammi vedere ist also, wie ich angenommen, ohne Kontext ambig.

2)
- "ich ließ ihn, sich bei meiner Schwester entschuldigen": Puh, theoretisch ja (aber ohne Komma, meine ich), aber der Satz ist so seltsam, da würde man sogar eher ich hieß ihn, sich bei meiner Schwester entschuldigen sagen.

- "I made the barber cut my hair": Der Satz ist natürlich möglich, ist aber eine andere Konstruktion, nämlich die aus Satz zwei. Yesterday I made my hair cut wäre jedenfalls falsch.

Ich sehe Deine Übersetzungen als Beleg dafür, dass englisch make und have auf Italienisch beide zu fare werden. Deine Sätze mit dejé und lasciato sind ja keine korrekten Übersetzungen des englischen Satzes und widerlegen diese These also nicht. :-) Du hast es also klarer gemacht, danke!

Berichtigung (zu heiß heute):
Fammi vedere ist also, wie ich angenommen habe, ohne Kontext ambig.

Nachtrag:
Was ich immer noch nicht verstehe, warum im Wörterbuch lasciare +inf. - permettere di, far steht ...

Hm, ich interpretiere es als permettere di [vedere], far [vedere] - fare (Infinitiv) wird fast immer vor einem anderen Infinitiv in far apokopiert.

Deine Sätze mit dejé und lasciato sind ja keine korrekten Übersetzungen...
Die wären die korrekten Übersetzungen von "yesterday I suffered my hair to be cut" - um die Nuancenunterschiede zwischen let, lassen, dejar und lasciare mit einem Lächeln zu betonen :-)