Wenn ich nach коло́дец suche, werden mir vor allem Ziehbrunnen angezeigt. Würde man dieses Wort trotzdem auch für andere Brunnen verwenden?

Nein. Колодец – Ziehbrunnen.

die "normalen" Steinbrunnen, wie man sie in Städten sieht

Stadtbrunnen so wie Austriabrunnen oder Trevi-Brunnen – фонтан.

oder ein Holzbrunnen im Wald

источник

Bei der Waldhütte gibt es auch einen Brunnen.

Vermutlich auch источник.

Besten Dank.

Mit normalen Stadtbrunnen meine ich eigentlich eher die kleineren, wenig kunstvollen Brunnen. Sowas: https://www.baselland.ch/politik-und-behorden...

Oder auch einfach ein kleiner Brunnen in einem Privatgarten.

Sowas: https://www.baselland.ch/politik-und-behorden... 

Solche Einrichtungen sind in russischen Städten nicht sehr üblich (ich habe noch nie direkt gesehen), nennen würde ich das vielleicht 

(водоразборный) фонтанчик.

einfach ein kleiner Brunnen in einem Privatgarten

Bin mir nicht sicher was ich darunter vorstellen kann, ein Link auf Foto wäre hilfreich.

Hab ich mir gedacht, dass es natürlich auch auf das Land ankommt, ob es die entsprechenden Brunnenarten überhaupt gibt.

Mit einem kleinen Brunnen meine ich z. B. sowas: https://www.google.ch/url?sa=i&url=https%3A%2...

Mehr zur Zierde aus Stein, bisschen kunstvoll. Sowas sieht man auch in Parks. Es ist halt einfach eine Trinkgelegenheit. Im Deutschen ist das Wort "Brunnen" halt ein sehr übergeordneter und allgemeiner Begriff, den man für Trinkgelegenheiten (fliessendes Wasser) ausserhalb des Hauses verwenden kann. Also zum Beispiel wenn ich am Wandern bin und kein Wasser mehr habe: "Vielleicht kommen wir an einem Brunnen vorbei (im Wald oder je nach Route auch in einem Dorf), dann kannst du die Flasche auffüllen." Wenn man also noch nicht weiss, welche Art von Brunnen man genau antrifft und es nur um die Verfügbarkeit einer Wasserquelle geht, welches Wort wäre dann im Russischen am Allgemeinsten?