Einige, anscheinend kleinere (privat geführte ?*) Hotels und andere Einrichtungen bleiben wohl bei "Kaernten" :

https://www.cvent.com/venues/feldkirchen-in-k...

... Weitere Infos

Landidyll-Hotel Nudelbacher is located in Feldkirchen in Kaernten, Austria. Hotel has more than thirty comfortably furnished rooms and junior suites. We have decorated all our rooms especially for you, paying great care to detail. All rooms are equipped with various amenities. ...

... im Großen und Ganzen wird aber übersetzt :

https://www.fh-kaernten.at/en/en

 ... Research

The Carinthia University of Applied Sciences offers researchers a wide range of support in the research and development sector as well as in the area of knowledge and technology transfer. ...

*zuviele Kekse, um sich das genauer anzusehen ...

Naja bitte, übersetzte Hotelwebseiten können kein Nachweis sein.

Universitäten schon eher, was sagt die Uni Klagenfurt?

https://www.aau.at/en/

"The University of Klagenfurt (AAU) is a young, lively, innovative university located in the Austrian state of Carinthia, a meeting point of three cultures."

Hier kann man sich nicht ganz entscheiden zwischen "Kärntner" und "Carinthian":

https://www.aau.at/en/university/profile/the-...

"The University of Klagenfurt, the Carinthia University of Applied Science and the University College of Teacher Education Carinthia have joined forces through the Carinthian University Conference to pool their strengths, harness synergies and “rethink Carinthia”."

(Bevor wer fragt: Das sind die Uni, die FH und die Pädagogische Hochschule.)

Ob die Schreibung mit ae einen falschen Eintrag darstellt, wage ich nicht zu entscheiden.

Und Kaernten gehört wohl auch nicht zum Wortschatz des Standard English.

Allerdings: Wenn man den Namen unübersetzt lassen will und darauf Bedacht nimmt, dass viele nicht-deutsche Tastaturen kein ä anbieten (und dass, wo zwar die Eingabe von Umlauten, nicht aber deren korrekte Wiedergabe möglich ist, dann irgendwelche bizarre Zeichenkombinationen herauskommen), spricht m.E. nichts dagegen, für ä ein ae, für ö ein oe und für ü ein ue zu setzen (das musste man schließlich sogar im Deutschen jahrzehntelang tun, sc. als es noch Telegraphie gab).