Ho bisogno di = wörtlich: ich habe Bedarf an
Darum ist das Verb avere konjugiert, wie beispielsweise bei: ho fame, hai freddo, ha sonno usw.
Ho bisogno di partire subito = devo partire subito

Bisogna... = wörtlich: es bedarf, dass…
Deshalb nur in der dritten Person singular, wie auf Deutsch auch.
Und richtig, es sagt nicht aus, WER sofort abreisen muss, wie auf Deutsch: MAN muss sofort abreisen – das ergibt sich aus dem Kontext.

Ja, 'bisogna' ist von Natur aus unpersönlich, es ist trotzdem möglich, die Person zu spezifizieren:
Bisogna che partiamo immediatamente
Bisogna che [io] parta immediatamente
Bisogna che [tu] parta immediatamente
Wenn der Kontext eindeutig ist, braucht man die Pronomen nicht: non c'è bisogno dei pronomi.

Sonst kannst du auch "dovere" nehmen:
Wir müssen sofort abfahren = dobbiamo partire immediatamente
Ich muss sofort abfahren = devo partire immediatamente
Man muss sofort abfahren = si deve partire immediatamente

Merke: "ho bisogno di partire" und "bisogna che io parta" bedeuten nicht Dasselbe:
"bisogna che io parta" = es hängt nicht von mir ab, ich muss abfahren
"ho bisogno di partire" = ich habe einen persönlichen Grund, das Bedürfnis / mir drängt es danach, / mir fehlt noch, abzureisen."