Ich habe das noch nie mit sport(s) kombiniert gesehen. Nur coach oder die konkrete Sportart davor, z.B. soccer coach. Und zumindest in AE coach. Trainer ist eher Physiotherapie.

In general usage, "sport" is more typically BE, "sports" more typically AE.

#2

"Sport trainer" and "sport coach" sound very odd indeed to this BE speaker.

RE #3: As I indicated, "in general"--which doesn't necessarily indicate that the phrases cited are standard BE, either.

#5

I would disagree that is generally true. I don't think I would ever say say "sport car", "sport bike", "sport jacket", "sport kit" or "sport club", for example.

Wir sind hier ja in der Rubrik "Übersetzung korrekt?", aber im OP ist gar nicht angegeben, wofür sport(s) trainer oder sport(s) coach denn die Übersetzung sein soll. Das Wort Sporttrainer scheint mir jedenfalls auch im Deutschen eher ungewöhnlich.